Question

8．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上一点
（Ⅰ）当点E在AB上移动时，三棱锥D-D₁CE的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积
（Ⅱ） 当点E在AB上移动时，是否始终有D₁E⊥A₁D，证明你的结论．

Answer 1

分析 （ I）由于△DCE的体积不变，点E到平面DCC₁D₁的距离不变，因此三棱锥D-D₁CE的体积不变．
（II）利用正方形的性质、线面垂直的判定余弦值定理可得A₁D⊥平面AD₁E，即可证明．

解答 解：（ I）三棱锥D-D₁CE的体积不变，
∵S_△DCE=$\frac{1}{2}DC×AD$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，DD₁=1．
∴${V}_{D-{D}_{1}CE}$=${V}_{{D}_{1}-DCE}$=$\frac{1}{3}D{D}_{1}×{S}_{△DCE}$=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$．
（ II）当点E在AB上移动时，始终有D₁E⊥A₁D，
证明：连接AD₁，∵四边形ADD₁A₁是正方形，
∴A₁D⊥AD₁，
∵AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D⊆平面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB．
又AB∩AD₁=A，AB?平面AD₁E，
∴A₁D⊥平面AD₁E，
又D₁E?平面AD₁E，
∴D₁E⊥A₁D．

点评 本题考查了正方形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．