Question

13．设函数f（x）=-2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{π}{4}$）+2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$
（1）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时求f（x）值域；
（2）若θ∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），f（θ）=$\frac{2}{3}$，求cos（2θ+$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
（2）利用函数的关系式，进一步利用函数的值求出结果，主要考出角的恒等变换．

解答 解：（1）函数f（x）=-2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{π}{4}$）+2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$
=$-\sqrt{3}[cos（2x+\frac{π}{2}）+1]$+$sin（2x+\frac{π}{2}）+\sqrt{3}$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，$0≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
则：$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
则：$-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
即：函数f（x）的值域为[-1，2]．
（2）由（1）得：函数的解析式为：f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
所以：若θ∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$），
所以：$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
又f（θ）=$\frac{2}{3}$，
所以：$2sin（2θ+\frac{π}{6}）=\frac{2}{3}$，
所以：$sin（2θ+\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，
进一步解得：$cos（2θ+\frac{π}{6}）=±\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
①当cosθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，
cos（2θ+$\frac{π}{12}$）=cos[（2θ+$\frac{π}{6}$）$-\frac{π}{4}$]=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$；
②当$cosθ=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，cos（2θ+$\frac{π}{12}$）=cos[（2θ+$\frac{π}{6}$）$-\frac{π}{4}$]=$\frac{-4+\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的定义域求函数的值域，求三角函数的值，主要考查学生的应用能力．