Question

5．设函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）设f（x）的极小值点为x=t，请将a用t表示；
（Ⅱ）记f（x）的极小值为g（t），证明：
（1）g（t）=g（$\frac{1}{t}$）；
（2）函数y=g（t）恰有两个零点，且互为倒数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，利用f（x）的极小值点为x=t．推出t=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}-a}{2}$＞0，然后求解单调区间，a=$\frac{1}{t}$-表示出a与t的关系．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值，就是证明g（$\frac{1}{t}$）=g（t）．
（ⅱ）求出函数的g′（t）=-（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）lnt，利用单调性以及极值，判断分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e²），推出g（c）=g（d）=0，化简即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}$．t=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}-a}{2}$＞0，…（2分）
当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．…（4分）
由f′（t）=0得 a=$\frac{1}{t}$-t．…（6分）
（Ⅱ）
（ⅰ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为g（t）=t+$\frac{1}{t}$+（$\frac{1}{t}$-t）lnt，
则g（$\frac{1}{t}$）=$\frac{1}{t}$+t+（t-$\frac{1}{t}$） ln$\frac{1}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+（$\frac{1}{t}$-t）lnt=g（t）． …（8分）
（ⅱ）g′（t）=-（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）lnt，…（9分）
当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，f（t）单调递增；
当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．…（10分）
又g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=g（e²）=$\frac{3}{{e}^{2}}$-e²＜0，g（1）=2＞0，
分别存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e²），
使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，
所以y=g（t）有两个零点且互为倒数．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的应用，考查计算能力．