Question

16．已知函数f（x）=ax²e^-x，a≠0，x∈R
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，讨论关于x的方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0的实数根的个数．

Answer 1

分析 （1）先求导f′（x）=a（2xe^-x-x²e^-x）=axe^-x（2-x），从而讨论a以确定导数的正负，从而确定函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0可化为f（x）=a²•e^-2，即ax²e^-x=a²•e^-2，从而由（1）可知f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是减函数，在（0，2）上是增函数；再求出$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）→+∞，f（0）=0，f（2）=4ae^-2，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=0；从而讨论即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²e^-x，
∴f′（x）=a（2xe^-x-x²e^-x）
=axe^-x（2-x），
①当a＞0时，
x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，f′（x）＜0，
x∈（0，2）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是减函数，在（0，2）上是增函数；
②当a＜0时，
x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，
x∈（0，2）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是增函数，在（0，2）上是减函数；
（2）当a＞0时，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0可化为f（x）=a²•e^-2，
即ax²e^-x=a²•e^-2，
又∵f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是减函数，在（0，2）上是增函数；
且$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）→+∞，f（0）=0，f（2）=4ae^-2，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=0；
故当a²•e^-2＞4ae^-2，即a＞4时，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0只有一个解，
当a²•e^-2=4ae^-2，即a=4时，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0有两个解，
当当a²•e^-2＜4ae^-2，即0＜a＜4时，方程e$\sqrt{f（x）}$-a=0有三个解．

点评 本题考查了导数的综合应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．