Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）通过两角差的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的周期，利用函数是偶函数求出φ，然后由相邻对称轴间的距离可求ω，即可求f（x）；
（2）f（x）=2cos2x⇒g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），由2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π （k∈Z）即可得g（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），
因为函数是偶函数，所以φ-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{2π}{3}$．
函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
所以T=π，T=$\frac{2π}{ω}$=π，所以ω=2；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，…（6分）
（2）由知f（x）=2cos2x，
所以g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=2cos[2（x-$\frac{π}{6}$）]=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）…（9分）
由2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π （k∈Z），解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
因此g（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）…（12分）

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，关键是用好辅助角公式，再由其奇偶性与周期确定φ的值，重点考查三角函数的平移变换与单调性，属于中档题．