Question

20．已知动圆经过（4，0），且在y轴上截得的弦长为8，记动圆圆心的轨迹为C，过点T（6，0）的直线l交曲线C于A、B，若以A为圆心，TA为半径的圆交y轴于M、N两点，F（2，0），求△MNF面积的取值范围．

Answer 1

分析 设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=4，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用两点间的距离公式得出动圆圆心的轨迹方程，确定以A为圆心，|AT|为半径的圆的方程，求出|MN|的范围，即可求出△MNF面积的取值范围．

解答 解：设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=4，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化为y²=8x．
设A（x₁，y₁），M（0，y_M），N（0，y_N），则y₁²=8x₁，①
以A为圆心，|AT|为半径的圆的方程为（x-x₁）²+（y-y₁）²=（6-x₁）²+y₁²，
令x=0，则x₁²+（y-y₁）²=（6-x₁）²+y₁²，②
把①代入②得（y-y₁）²=36-4x₁，
∴y=y₁+$\sqrt{36-4{x}_{1}}$或y=y₁-$\sqrt{36-4{x}_{1}}$，
∴|MN|=|y_M-y_N|=2$\sqrt{36-4{x}_{1}}$∈（0，12）
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$•|MN|•|OF|∈（0，12）．

点评 本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．