Question

15．已知f（x）=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-2}}$（x＜-$\sqrt{2}$）．
（1）求f^-1（x）；
（2）若a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f^-1（a_n），n∈N^*，求a_n．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）解析式求解得出x=-$\sqrt{2+\frac{1}{{y}^{2}}}$，再运用反函数的概念求解f^-1（x）=-$\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}$．
（2）运用反函数的解析式得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{2+\frac{1}{{a}_{n}^{2}}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$$-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=2，判断，{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}为首项1，公差为2的等差数列．
求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-2}}$（x＜-$\sqrt{2}$）．值域为（0，+∞）
∴x=-$\sqrt{2+\frac{1}{{y}^{2}}}$，
∴f^-1（x）=-$\sqrt{2+\frac{1}{{x}^{2}}}$．x＞0
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f^-1（a_n），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{2+\frac{1}{{a}_{n}^{2}}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$$-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=2，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=1，{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}为首项1，公差为2的等差数列．
即$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+2（n-1）=2n-1，
得出a_n=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$．

点评 本题考查了反函数的定义，运用解析式，递推的思想，构造法求解数列的通项公式，结合等差数列的定义求解，属于中档题．