Question

13．求三角方程cos2πx-3cosπx+2=0，x∈[0，100]的所有整数解的和．

Answer 1

分析 先由二倍角公式可得2cos²πx-3cosπx+1=0，再因式分解可得（2cosπx-1）（cosπx-1）=0，从而可得x=2k+$\frac{1}{3}$或x=2k-$\frac{1}{3}$或x=2k；（k∈Z），从而写出其在[0，100]内的整数解为0，2，4，6，…，100，再利用等差数列求和公式求和即可．

解答 解：∵cos2πx-3cosπx+2=0，
∴2cos²πx-1-3cosπx+2=0，
∴2cos²πx-3cosπx+1=0，
即（2cosπx-1）（cosπx-1）=0，
即cosπx=$\frac{1}{2}$或cosπx=1；
故πx=2kπ+$\frac{π}{3}$，πx=2kπ-$\frac{π}{3}$或πx=2kπ；
故x=2k+$\frac{1}{3}$或x=2k-$\frac{1}{3}$或x=2k；（k∈Z），
故其在[0，100]内的整数解为：
0，2，4，6，…，100，
故其和S=2+4+6+…+100=$\frac{2+100}{2}$×50=2550．

点评 本题考查了三角恒等变换及因式分解的应用，同时考查了等差数列前n项和公式的应用，属于中档题．