Question

3．已知动点P（x，y）在抛物线y²=16x上，若A点坐标为（3，0），M是平面内一点，|$\overrightarrow{AM}$|=1，且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{AM}$=0，则|$\overrightarrow{PM}$|的最小值是（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 确定M点轨迹是以A（3，0）为圆心，1为半径的圆，PM为圆的切线，|$\overrightarrow{PM}$|²=|PA|²-1，故求|PA|的最小值即可．

解答 解：∵M是平面内一点，|$\overrightarrow{AM}$|=1，
∴M点轨迹是以A（3，0）为圆心，1为半径的圆
$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{AM}$=0，说明PM⊥AM，PM为圆的切线
|$\overrightarrow{PM}$|²=|PA|²-1，故求|PA|的最小值即可，
|PA|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+5）^{2}-16}$≥3，即|PA|的最小值为3，
∴|$\overrightarrow{PM}$|的最小值是2$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查抛物线方程，考查向量知识，考查学生的计算能力，比较基础．