Question

9．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥斜面ABC，点A在平面A₁BC中的投影为线段A₁B上的点D．
（1）求证：BC⊥A₁B；
（2）点P为AC上一点，若AP=PC，AD=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，求三棱锥P-A₁BC的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知A₁A⊥平面ABC，可得A₁A⊥BC，再由AD⊥平面A₁BC，得AD⊥BC．然后利用线面垂直的判定得BC⊥平面A₁AB，从而得到BC⊥A₁B；
（2）把三棱锥P-A₁PC的体积转化为三棱锥A₁-BPC的体积，然后通过解直角三角形求得直三棱柱的侧棱长，即三棱柱的高，也就是三棱锥A₁-BPC的高，再由棱锥的体积公式求得答案．

解答 （1）证明：如图，
∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC，
∵AD⊥平面A₁BC，且BC?平面A₁BC，
∴AD⊥BC．又AA₁?平面A₁AB，
AD?平面A₁AB，A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AB，
又A₁B?平面A₁BC，
∴BC⊥A₁B；
（2）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥AB．
∵AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上，
∴AD⊥A₁B．
在Rt∠△ABD中，AD=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，
sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠ABD=60°，
在Rt∠△ABA₁中，AA₁=AB•$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
由（1）知BC⊥平面A₁AB，AB?平面A₁AB，
从而BC⊥AB，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
∵P为AC的中点，S_△BCP=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=1$，
∴${V}_{P-{A}_{1}BC}={V}_{{A}_{1}-BCP}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCP}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}$×1×2$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．