Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且AB=AC=1，AD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在$（0，\frac{π}{6}）$内变化时，求二面角P-BC-A的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点Q，连接NQ、CQ，通过中位线定理可得四边形CQNM为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得结论；
（Ⅱ）连接PM，易得∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角，过点A在平面PAM内作AH⊥PM于H，连接CH，比较∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角α与∠AMH的关系计算即可得出答案．

解答 （Ⅰ）证明：取PD中点Q，连接NQ、CQ，
因为点M，N分别为BC，PA的中点，
所以NQ∥AD∥CM，$NQ=\frac{1}{2}AD=CM$，
∴四边形CQNM为平行四边形，∴MN∥CQ，
又MN?平面PCD，CQ⊆平面PCD，
所以MN∥平面PCD；
（Ⅱ）解：连接PM，∵AB=AC=1，点M分别为BC的中点，∴AM⊥BC，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PM⊥BC，
∴∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角，记为φ，
又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，则平面PBC⊥平面PAM，
过点A在平面PAM内作AH⊥PM于H，则AH⊥平面PBC．
连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角α．
在Rt△AHM中，$AH=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin∠AMH$；
又∵在Rt△AHC中，AH=sinα，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin∠AMH=sinα$．
∵$0＜α＜\frac{π}{6}$，
∴$0＜sinθ＜\frac{1}{2}$，$0＜sin∠AMH＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又$0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$0＜φ＜\frac{π}{4}$．
即二面角P-BC-A取值范围为$（{0，\frac{π}{4}}）$．

点评 本题考查中位线定理，线面平行的判定定理，作出恰当的辅助线是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．