Question

4．如图，平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，H、M是AD、DC的中点，BF=$\frac{1}{3}$BC．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$来表示$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{HF}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{HF}$．

Answer 1

分析 （1）M是DC的中点，且$\overrightarrow{DM}$与$\overrightarrow{AB}$同向，所以根据共线向量基本定理有$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，同样可求出$\overrightarrow{HF}$；
（2）运用向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6，再由向量数量积的性质即可求得所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$；
$\overrightarrow{HF}$=$\overrightarrow{HD}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3×4cos$\frac{2π}{3}$=-6，
则有$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{HF}$=（$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\frac{1}{6}$${\overrightarrow{b}}^{2}$+$\frac{11}{12}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$\frac{1}{2}×$9-$\frac{1}{6}$×16-$\frac{11}{12}$×6=-$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查向量的加法运算，及共线向量基本定理和向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．