Question

17．如图，三棱锥P-ABC中，E，D分别是BC，AC的中点，PB=PC=AB=4，AC=8．BC=4$\sqrt{3}$，PA=2$\sqrt{6}$
（1）求证：BC⊥平面PED
（2）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据AB，BC，AC边的长度容易得到BC⊥AB，E，D都是中点，从而DE∥AB，这便得到BC⊥DE，而由PB=PC，D为BC边中点，从而便得到BC⊥PD，从而由线面垂直的判定定理即得BC⊥平面PED；
（2）要求直线AC与平面PBC所成角的正弦值，首先找到这个线面角，根据（1）便可知道，过E作PD的垂线EF，该垂线也垂直于平面PBC，从而∠ECF便是要找的线面角．下面来求这个角的正弦值，从而可根据余弦定理求出cos∠PCA，从而可求出PE=2，并且可求出PD=2，DE=2，从而△PDE为等边三角形，从而能求出EF，CE，这即可求出sin∠ECF=$\frac{EF}{CE}$．

解答 解：（1）证明：$AB=4，BC=4\sqrt{3}，AC=8$；
∴AB²+BC²=AC²；
∴BC⊥AB；
D，E分别是BC，AC中点；
∴DE∥AB；
∴BC⊥DE；
又PB=PC，D是BC中点；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PED；
（2）PA=$2\sqrt{6}$，PC=4，AC=8；
∴由余弦定理cos∠PCA=$\frac{7}{8}$；
在△PCE中，PC=4，CE=4；
∴由余弦定理得PE=2，DE=2，并可求得PD=2；
∴△PDE为等边三角形；
∴如图，取PD中点F，连接EF，CF，则：EF⊥PD；

又BC⊥平面PED，EF?平面PED；
∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；
∴EF⊥平面PBC；
∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角；
容易求出EF=$\sqrt{3}$，CE=4；
∴$sin∠ECF=\frac{EF}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{4}$；
即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 考查直角三角形边的关系，等腰三角形的中线也是高线，线面垂直的判定定理，以及余弦定理，线面垂直的性质，线面角的概念及找法．