Question

6．如图，半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA=2，点B为半圆上任意一点作正△ABC，问：点B在什么位置上时，四边形OACB的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 设∠AOB=θ，AB=x，则由余弦定理求得 x²=5-4cosθ．再利用两角和差的正弦公式化简S_OACB =S_△AOB+S_△ABC 的解析式，从而求得S_OACB的面积取得最大值．

解答 解：设∠AOB=θ，则S_OACB =S_△AOB+S_△ABC．
设AB=x，则x²=OB²+OA²-2OB•OAcosθ=1²+2²-2×1×2•cosθ=5-4cosθ．
故 S_OACB=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×2•sinθ+$\frac{1}{2}•x•x•sin\frac{π}{3}$=sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（θ-$\frac{π}{3}$），
∴当2sin（θ-$\frac{π}{3}$）=1，即θ=$\frac{5π}{6}$时，四边形OACB的面积取得最大值，并且最大值是$\frac{5\sqrt{3}}{4}+2$．

点评 本题主要余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题．