Question

7．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足bcos²A=a（2-sinAsinB），c=$\sqrt{7}$，cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）由bcos²A=a（2-sinAsinB），利用正弦定理可得sinBcos²A=sinA（2-sinAsinB），可得sinB=2sinA，由cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$，即可得出；
（II）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，b=2a，c=$\sqrt{7}$，可得a，b．

解答 解：（I）∵bcos²A=a（2-sinAsinB），
∴sinBcos²A=sinA（2-sinAsinB），
∴sinBcos²A+sin²AsinB=2sinA，
∴sinB=2sinA，
∵cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴sinA=$\frac{1}{2}sinB$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$；
（II）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，b=2a，c=$\sqrt{7}$，
∴4a²=a²+7-$2\sqrt{7}acosB$=a²+7-2$\sqrt{7}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
化为3a²+4a-7=0，解得a=1．
∴b=2．
∴a=1，b=2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．