Question

17．已知z＞0，x+y+z=1，x²+y²+z²=3，则$\frac{xy}{z}$的最大值为$\frac{1}{15}$．

Answer 1

分析 由条件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得$\frac{xy}{z}$=z-$\frac{1}{z}$-1，利用导数的方法，可求$\frac{xy}{z}$的最大值．

解答 解：∵x+y+z=1①，x²+y²+z²=3②
∴①²-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z²-z-1
∵x²+y²=3-z²≥2xy=2（z²-z-1）⇒3z²-2z-5≤0⇒-1≤z≤$\frac{5}{3}$
令f（z）=$\frac{xy}{z}$=z-$\frac{1}{z}$-1，则f′（z）=1+$\frac{1}{{z}^{2}}$＞0
∴f（z）在区间（0，$\frac{5}{3}$]单调递增，
∴当z=$\frac{5}{3}$时，f（z）=$\frac{xy}{z}$的值为$\frac{1}{15}$，
∴$\frac{xy}{z}$的最大值为$\frac{1}{15}$．
故答案为：$\frac{1}{15}$．

点评 本题考查最值问题，考查导数知识的运用，解题的关键是正确转化，从而利用导数进行求解．