Question

11．已知f（x）和g（x）都是定义域在R上的奇函数，若F（x）=af（x）+bg（x）+2，在（0，+∞）上有最大值为5，求F（x）在（-∞，0）上的最小值．

Answer 1

分析 根据定义得出f（-x）+f（x）=0，g（-x）+g（x）=0，即F（x）+F（-x）=4，根据F（x）图象关于（0，2）对称，
求解得出F（x）在（-∞，0）上的最小值F（-x₀）=4-5=-1．

解答 解：∵f（x）和g（x）都是定义域在R上的奇函数，若F（x）=af（x）+bg（x）+2，
∴f（-x）+f（x）=0，g（-x）+g（x）=0，
即F（x）+F（-x）=4，
F（x）图象关于（0，2）对称，
∵在（0，+∞）上有最大值为5，
∴最大值为F（x₀）=5，
即F（x）在（-∞，0）上的最小值F（-x₀）=4-5=-1．
故F（x）在（-∞，0）上的最小值为-1．

点评 本题考查了函数的性质，运用奇函数求解即可，整体运算，属于容易题，