Question

5．如图，在四棱锥E-ABCD中，地面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC与BD相交于点G．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求证：AE⊥平面BCE；
（3）求三棱锥A-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形可得：G是AC的中点，利用BF⊥平面ACE，可得CE⊥BF，又BC=BE，可得F是EC中点，于是FG∥AE，利用线面平行的判定定理即可证明：AE∥平面BFD；
（2）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，可得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，可得AE⊥BF，即可证明AE⊥平面BCE．
（3）由（2）知AE为三棱锥A-BCE的高，利用三棱锥A-BCE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×AE$即可得出．

解答 （1）证明：由四边形ABCD是正方形，
∴G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，
则CE⊥BF，而BC=BE，
∴F是EC中点，
在△AEC中，连接FG，则FG∥AE，
又 AE?平面BFD，FG?平面BFD，
∴AE∥平面BFD；
（2）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，则BC⊥AE，
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
则AE⊥BF，
且BC∩BF=B，BC?平面BCE，
∴BF?平面BCE．
∴AE⊥平面BCE．
（3）解：由（2）知AE为三棱锥A-BCE的高，
∵BC⊥平面ABE，BE?平面ABE，
∴BC⊥BE，AE=EB=BC=2，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}BC×BE$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱锥A-BCE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×AE$=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了线面面面垂直与平行的判定性质定理、正方形的性质与三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．