Question

13．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，当D为PB的中点
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；
（2）求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；
（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC
（2）取PC的中点E，
连结AE，DE，
∵D为PB的中点，
DE∥BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC．
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．
又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{1}{\sqrt{2}}$AB．
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}=\frac{BC}{2AD}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即AD与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面所成角、线面垂直的判定定理，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，要求熟练掌握相应的判定定理．