Question

9．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求函数的最小正周期；
（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）．

Answer 1

分析 （1）根据函数周期性得出f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）是T=4的周期函数．
（2）求解f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
利用周期函数的性质得出f（1）+f（2）+…+f（2015）=503×（1+0-1+0）+1+0-1=0，
求解即可．

解答 解：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故f（x）是T=4的周期函数，
（2）∵x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
2015÷4=503×4+3
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=503×（1+0-1+0）+1+0-1=0，
故计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0

点评 本题考查的知识点是函数周期性的性质，函数解析式的求解方法，是函数图象和性质的简单综合应用，难度不大，属于基础题