Question

20．已知实数x，y＞0且xy=2，则$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}}{{x}^{2}+4{y}^{2}+8}$的最小值是1．

Answer 1

分析 设x+2y=t，由实数x，y＞0且xy=2，可得$t≥2\sqrt{2xy}$=4，当且仅当x=y=$\sqrt{2}$．则$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}}{{x}^{2}+4{y}^{2}+8}$=t-$\frac{12}{t}$=f（t），利用函数的单调性即可得出．

解答 解：设x+2y=t，
∵实数x，y＞0且xy=2，
∴$t≥2\sqrt{2xy}$=4，当且仅当x=2y=2．
则$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}}{{x}^{2}+4{y}^{2}+8}$=$\frac{（x+2y）[（x+2y）^{2}-4xy-2xy]}{（x+2y）^{2}-4xy+8}$=$\frac{t（{t}^{2}-12）}{{t}^{2}}$=t-$\frac{12}{t}$=f（t）≥4-$\frac{12}{4}$=1，
∴$\frac{{x}^{3}+8{y}^{3}}{{x}^{2}+4{y}^{2}+8}$的最小值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了“换元法”、乘法公式、函数的单调性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．