Question

8．把公差为2的等差数列{a_n}的各项依次插入等比数列{b_n}的第1项、第2项、…、第n项后，得到数列{c_n}：b₁，a₁，b₂，a₂，b₃，a₃，b₄，a₄，…，记数列{c_n}的前n项和为S_n，已知c₁=1，c₂=3，S₃=$\frac{17}{4}$．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=2012•b_n+a_n，阅读程序框图写出输出项，并指出此时输出项在{T_n}中的一种含义．
（3）若第（2）题中判断框T_i＜15改为T_i＜50，阅读程序框图写出所有输出项的和．

Answer 1

分析 （1）根据题意，c₁=b₁=1，c₂=a₁=3，再根据S₃可以计算出b₂=$\frac{1}{4}$，从而得出等比数列{b_n}的公比，最后根据等差数列和等比数列的通项公式，求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求得数列{T_n}的通项公式，可得T₁＞T₂＞T₃＞T₄＞T₅＞15＞T₆＜T₇＜T₈＜…，可知满足T_n＜15的项即输出项只有T₆=14.96．T₆恰好是{T_n}中的最小项；
（3）分析数列{T_n}的各项，输出项的和为：T₄+T₅+T₆+T₇+T₈+…+T₂₄，由等差数列、等比数列的求和公式即可求值．

解答 解：（1）由题意，b₁=1，a₁=3，
S₃=b₁+a₁+b₂=$\frac{17}{4}$，故b₂=$\frac{1}{4}$，
所以a_n=2n+1，b_n=（$\frac{1}{4}$）^n-1，
（2）∵T_n=2012•（$\frac{1}{4}$）^n-1+2n+1，
∴T₁＞T₂＞T₃＞T₄＞T₅＞15＞T₆＜T₇＜T₈＜…，
所以，由程序框图可知满足条件T_n＜15的项即输出项只有T₆=14.96．
T₆恰好是{T_n}中的最小项．
（3）∵T₁＞T₂＞T₃＞50＞T₄＞T₅＞T₆＜T₇＜T₈＜…＜T₂₄＜50＜T₂₅＜T₂₆＜…，
∴输出项的和=T₄+T₅+T₆+T₇+T₈+…+T₂₄=2012$•\frac{（\frac{1}{4}）^{3}•[1-（\frac{1}{4}）^{21}]}{1-\frac{1}{4}}$+$\frac{21•（9+49）}{2}$=$\frac{503}{12}•[1-（\frac{1}{4}）^{21}]+609$．

点评 本题考查了数列与不等式的综合，以及数列的函数特征，考查了计算能力和转化思想，属于难题．深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系，准确运用通项公式，研究数列的单调性，是解决本题的关键．