Question

16．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．
（Ⅰ）求证：AD⊥CD；
（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；
（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量$\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DP}$的坐标，这时候设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MN}＞|=|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MN}|}|$即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）证明：如图，

取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；
∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；
∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；
取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；
∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；
故CD⊥平面PAD，AD?平面PAD；
∴CD⊥AD，即AD⊥CD；
（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得?ABCD是正方形；
取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（1，0，$\sqrt{3}$）；
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}z}\\{y=\sqrt{3}z}\end{array}\right.$，取z=1，∴$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$；
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{3}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．