Question

1．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+mx+$\frac{7}{2}$（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l的方程及m的值；
（2）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）进行求导，根据导数的几何意义可求出切线斜率等于f'（1），从而可得到切线方程，最后切线方程与函数g（x）联立可求出m的值．
（2）首先证明ln（1+x）＜x，先对f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$进行整理变形为ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$）＜$\frac{b}{2a}$-$\frac{1}{2}$，再根据ln（1+x）＜x，可得证．

解答 （1）解：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，
直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，
∴其斜率为k=f′（1）=1，
∴直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+mx+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，消去y，可得$\frac{1}{2}$x²+（m-1）x+$\frac{9}{2}$=0，
得△=（m-1）²-9=0⇒m=-2（m=4不合题意，舍去），
则有直线l的方程为y=x-1和m=-2；
（2）证明：由（1）知，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{7}{2}$，
令h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1（x＞-1）
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．
于是，h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
则当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2，
即有h（x）≤2，即为ln（1+x）＜x．
不等式f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$，即为
ln（a+b）-ln（2a）＜$\frac{b}{2a}$-$\frac{1}{2}$即有ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$）＜$\frac{b}{2a}$-$\frac{1}{2}$，
当0＜b＜a时，即有0＜$\frac{b}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
可令x=$\frac{b}{2a}$-$\frac{1}{2}$，即有-$\frac{1}{2}$＜x＜0，
由ln（1+x）＜x，可得ln（$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$）＜$\frac{b}{2a}$-$\frac{1}{2}$成立．
则有不等式f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$成立．

点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、导数的几何意义、根据导数求函数的最值的问题．