Question

13．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1+{a}_{n}}{2}$，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）判断数列{a_n}是否为等差数列，并说明理由；
（3）若a₂=2，数列{b_n}满足b_n=2${\;}^{{a}_{n}-1}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在正整数a，b，a≥1，b≥1，使T_n可以表示成aⁿ-b的形式，若存在，求出所有的数对（a，b），若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令n=1，a₁=$\frac{1+{a}_{1}}{2}$，求解即可．
（2）利用递推关系式得出2S_n=n+na_n①，2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1②，得出化简得出a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n}-1}{n-1}$，讨论判断即可．
（3）根据题意得出b_n=2^n-1，2ⁿ-1=aⁿ-b，判断a=2，b=1，符合题意．

解答 解：数列{a_n}的前n项和S_n满足：$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1+{a}_{n}}{2}$，n∈N^*．
（1）n=1，a₁=$\frac{1+{a}_{1}}{2}$，
a₁=1，
（2）2S_n=n+na_n①
2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1②，
①-②得出：2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1，
化简得出a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n}-1}{n-1}$，
∴当a_n=n时，a_n-a_n-1=1=常数，
数列{a_n}是等差数列，a_n=n，
当a_n≠n时，a_n-a_n-1≠常数，
∴此时不是等差数列，
（3）∵a₁=1，a₂=2，数列{b_n}满足b_n=2${\;}^{{a}_{n}-1}$，
∴b_n=2^n-1，
数列{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ-1，
正整数a，b，a＞1，b＞1
使T_n可以表示成a^b-2的形式，
即2ⁿ-1=aⁿ-b，
所以a=2，b=1，
（2，1）符合，其他不存在．

点评 本题综合考查了函数的性质，数列的定义，性质，递推的思想，属于难题，运用的知识较多．