Question

3．已知多面体ABDEC中，底面△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=CA=2DB=2
（Ⅰ）求证：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面DEA⊥平面ECA；
（Ⅲ）求此多面体ABDEC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中点N，连接MN，BN，利用三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质定理可得DM∥BN，再利用线面平行的判定定理可得：DM∥平面ABC．
（Ⅱ）由EC⊥平面ABC，可得EC⊥BN，利用△ABC为正三角形，可得BN⊥AC，可得BN⊥平面ECA，利用DM∥BN，可得DM⊥平面ECA，即可证明．
（Ⅲ）取BC的中点O，连接AO，利用等边三角形的性质可得：AO⊥BC．利用面面垂直的性质定理可得：AO⊥平面BDEC．利用此多面体ABDEC的体积V=V_A-BDEC=$\frac{1}{3}h{S}_{BDEC}$即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：取AC的中点N，连接MN，BN，
∵$MN\underset{∥}{=}\frac{1}{2}EC$，$DB\underset{∥}{=}\frac{1}{2}EC$，
∴$MN\underset{∥}{=}$DB，
故四边形BDMN为平行四边形，
由DM∥BN，DM?平面ABC，BN?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
（Ⅱ）证明：∵EC⊥平面ABC，BN?平面ABC，
∴EC⊥BN，
又∵△ABC为正三角形，
N为AC的中点，
∴BN⊥AC，
又AC∩EC=C，
∴BN⊥平面ECA，
∵DM∥BN，
∴DM⊥平面ECA，
又DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
（Ⅲ）解：取BC的中点O，连接AO，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AO⊥BC，AO=$\sqrt{3}$．
∵平面BDEC⊥平面ABC，平面BDEC∩平面ABC=BC，
∴AO⊥平面BDEC．
S_BDEC=$\frac{（1+2）×2}{2}$=3，
∴此多面体ABDEC的体积V=V_A-BDEC=$\frac{1}{3}h{S}_{BDEC}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形的中位线定理、四棱锥的体积计算公式、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．