Question

5．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=3，a _n+1-$\frac{2}{{a}_{n}}$=a_n-$\frac{2}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*）
（2）若b_n=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{12}$（n∈N^*）；
（3）求证：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|＜3（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）通过a _n+1-$\frac{2}{{a}_{n}}$=a_n-$\frac{2}{{a}_{n-1}}$，a₁=1，a₂=3，可得b_n+1=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}{b}_{n}$，进而$\frac{{b}_{n+1}-\frac{1}{3}}{{b}_{n}-\frac{1}{3}}=-\frac{1}{2}$，计算可得b_n=$\frac{1}{3}$+（-1）ⁿ$\frac{1}{3×{2}^{n+1}}$；
（2）通过（1）知数列{${b}_{n}-\frac{1}{3}$}得前n项和T_n=$\frac{1}{9}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，从而$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{9}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$+$\frac{n}{3}$，利用$1-（-\frac{1}{2}）^{n}$≥1$-（-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{4}$，可得结论；
（3）通过计算可得$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}{3×{2}^{n+1}}$，进而|a_n-2|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{2}^{2k}-1}，}&{n=2k-1}\\{\frac{3}{{2}^{2k+1}+1}，}&{n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*），分别对|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|中奇数项和偶数项利用放缩法可得结论．

解答 （1）解：∵a _n+1-$\frac{2}{{a}_{n}}$=a_n-$\frac{2}{{a}_{n-1}}$，a₁=1，a₂=3，
∴a_n+1-$\frac{2}{{a}_{n-1}}$=3-2=1，∴a_n+1+1=$2+\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$，
∴b_n+1=$\frac{1}{1+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}•\frac{1+{a}_{n}-1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}•\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}{b}_{n}$，
∴b_n+1-$\frac{1}{3}$=$-\frac{1}{2}（{b}_{n}-\frac{1}{3}）$，即$\frac{{b}_{n+1}-\frac{1}{3}}{{b}_{n}-\frac{1}{3}}=-\frac{1}{2}$，
又∵${b}_{1}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{1+{a}_{1}}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
∴数列{${b}_{n}-\frac{1}{3}$}是以$\frac{1}{6}$为首项、$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则${b}_{n}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$×$（-\frac{1}{2}）^{n}$=（-1）ⁿ$\frac{1}{3×{2}^{n+1}}$，即b_n=$\frac{1}{3}$+（-1）ⁿ$\frac{1}{3×{2}^{n+1}}$；
（2）证明：由（1）知，数列{${b}_{n}-\frac{1}{3}$}是以$\frac{1}{6}$为首项、$-\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
故数列{${b}_{n}-\frac{1}{3}$}得前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{6}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{9}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=T_n+$\frac{n}{3}$=$\frac{1}{9}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$+$\frac{n}{3}$，
∵$1-（-\frac{1}{2}）^{n}$≥1$-（-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}×\frac{3}{4}$=$\frac{n}{3}+$$\frac{1}{12}$；
（3）证明：∵$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=b_n=$\frac{1}{3}$+（-1）ⁿ$\frac{1}{3×{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}{3×{2}^{n+1}}$，
∴1+a_n=$\frac{3×{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}$，∴a_n-2=$-\frac{3×（-1）^{n}}{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}$，
∴|a_n-2|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{2}^{2k}-1}，}&{n=2k-1}\\{\frac{3}{{2}^{2k+1}+1}，}&{n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*），
记Q_n=|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|，
则Q_n中奇数项的和M_奇=$\frac{3}{{2}^{2}-1}+\frac{3}{{2}^{4}-1}+…+\frac{3}{{2}^{2k}-1}$＜$\frac{3}{2}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{3}{{2}^{2k-1}}$，
Q_n中偶数项的和M_偶=$\frac{3}{{2}^{3}+1}+\frac{3}{{2}^{5}+1}+…+\frac{3}{{2}^{2k+1}+1}$＜$\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{5}}+…+\frac{3}{{2}^{2k+1}}$，
不妨令n为偶数，则Q_n=M_奇+M_偶
＜$\frac{3}{2}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{3}{{2}^{2k-1}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{5}}+…+\frac{3}{{2}^{2k+1}}$
=$3[2×\frac{1}{2}\frac{1-（\frac{1}{4}）^{k}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2k+1}}]$
=$3\{\frac{4}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{k}]-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2k+1}}\}$
＜3（n∈N^*）．

点评 本题考查数列的递推公式，求通项公式，前n项和，考查放缩法，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于难题．