Question

19．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos²ωx-1（ω＞0）最小正周期为π，求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），由周期公式可求ω，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间，由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的图象的对称轴方程．

解答 解：∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2cos²ωx-1=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）的最小正周期为π，
∴T=$π=\frac{2π}{2ω}$，可解得：ω=1，有：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z．
∴2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．