Question

9．AC=BC=$\sqrt{2}$，CD=DE=1，AB=BE=EA=2，CD⊥面ABC．
（Ⅰ）AB⊥面CDE；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中点M，连接EM，CM，证明AB⊥平面EMC，可得AB⊥EC，利用CD⊥面ABC，可得CD⊥AB，即可证明AB⊥面CDE；
（Ⅱ）证明DE⊥平面ABD，利用三棱锥E-ABD的体积=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•DE$，求三棱锥E-ABD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取AB的中点M，连接EM，CM，
因为AB=BE=EA=2，
所以EM⊥AB，
因为AC=BC，
所以CM⊥AB，
因为EM∩MC=M，
所以AB⊥平面EMC，
所以AB⊥EC，
因为CD⊥面ABC，
所以CD⊥AB，
因为EC∩CD=C，
所以AB⊥面CDE；
（Ⅱ）解：因为MC=CD=1，所以DM=$\sqrt{2}$，
因为DE=1，EM=$\sqrt{3}$，
所以ED⊥DM，
因为AB⊥DE，DM∩AB=A，
所以DE⊥平面ABD，
所以三棱锥E-ABD的体积=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．