Question

19．以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫做它的内切圆柱，以正棱柱两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫做它的外接圆柱．
（Ⅰ）求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比；
（Ⅱ）若正三棱柱的高为6cm，其内切圆柱的体积为24πcm³，求正三棱柱的底面边长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设正三棱柱底面边长为a，高为h，则底面外接圆半径$R=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，即可求正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比；
（Ⅱ）内切圆半径$r=\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，利用内切圆柱的体积为24πcm³，求正三棱柱的底面边长．

解答 解：（Ⅰ）设正三棱柱底面边长为a，高为h，则底面外接圆半径$R=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$…．（2分）
∴${V_{三棱柱}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}h，\;\;\;\;\;\;\;{V_{外接圆柱}}=π{R^2}h=π{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）^2}h=\frac{a^2}{3}πh$…..（5分）
∴$\frac{{{V_{三棱柱}}}}{{{V_{外接圆柱}}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}h}}{{\frac{π}{3}{a^2}h}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4π}$…．（7分）
（Ⅱ）∵内切圆半径$r=\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，…．（8分）
∴${V_{内切圆柱}}=π{r^2}h=π{（\frac{{\sqrt{3}}}{6}a）^2}×6=\frac{a^2}{2}π=24π$…（10分）
∴${a^2}=48，a=4\sqrt{3}$
∴可求得底面边长为$4\sqrt{3}cm$．…（12分）

点评 本题考查正三棱柱与它的外接圆柱的体积之比，考查体积的计算，考查计算能力，转化思想的应用．