Question

13．解不等式：2＜e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$＜2b-2．

Answer 1

分析 构造函数y=${e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$，结合函数图象，讨论2b-2与2的关系，得到不等式的解集．

解答 解：原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}＞2}\\{{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}＜2b-2}\end{array}\right.$，设y=${e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$，∵e^x＞0，所以y≥2，当且仅当x=0时等号成立，如图
所以当2b-2≤2时，不等式解集为空集；
当2b-2＞2时，即b＞2时，整理不等式得[e^x-（b-1）]²＜b（b-2），
解得ln（b-1-$\sqrt{b（b-2）}$）＜x＜ln（b-1+$\sqrt{b（b-2）}$）．
所以b＞2时，不等式的解集为：（ln（b-1-$\sqrt{b（b-2）}$），ln（b-1+$\sqrt{b（b-2）}$））．

点评 本题考查了指数形不等式的解法；关键是构造函数，讨论b值．