Question

9．如图，在三棱锥P-ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，点D是线段PB的中点，平面PAC⊥平面ABC．
（1）在线段AB上是否存在点E，使得DE∥平面PAC？若存在，指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（2）求证：PA⊥BC．

Answer 1

分析 （1）取线段AB的中点E，连结DE，证明DE∥PA即可．
（2）根据线面垂直的性质证明BC⊥平面PAC即可．

解答 证明：（1）在线段AB上存在点E，使得DE∥平面PAC，则E是线段AB的中点．
下面证明DE∥平面PAC，
取线段AB的中点E，连结DE，
∵D是PB的中点，
∴DE是△PAB的中位线，
∴DE∥PA，
∵PA?平面PAC，DE?平面PAC，
∴DE∥平面PAC．…（6分）
（2）证明：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB²=BC²+AC²．
∴AC⊥BC．…（10分）
∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAC．…（12分）
∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BC．…（14分）

点评 本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．