Question

20．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$（a∈R）．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）当a=-1，若不等式f（k-t²）+f（|2t-1|）＜0对于任意的t∈[-3，2]恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当a≠0时，存在区间[m，n]，使得函数f（x）在[m，n]的值域为[2^m，2ⁿ]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，f（-x）=-f（x），化简可得a=1；
（2）a=-1时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R上是增函数，且f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=-f（x），函数为奇函数．不等式f（k-t²）+f（|2t-1|）＜0可化为f（|2t-1|）＜f（t²-k），可得|2t-1|）＜t²-k，所以k＜t²-|2t-1|对于任意的t∈[-3，2]恒成立，求最值，即可得出结论；
（3）当a≠0时，分类讨论，根据存在区间[m，n]（m＜n），使得函数f（x）在[m，n]的值域为[2^m，2ⁿ]，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+a}{{2}^{-x}-a}$=-$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$，即$\frac{1+a•{2}^{x}}{1-a•{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$，化简可得a=1；
（2）a=-1时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R上是增函数，且f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=-f（x），函数为奇函数．
不等式f（k-t²）+f（|2t-1|）＜0可化为f（|2t-1|）＜f（t²-k），
所以|2t-1|）＜t²-k，
所以k＜t²-|2t-1|对于任意的t∈[-3，2]恒成立，
t∈[-3，$\frac{1}{2}$]，t²-|2t-1|=t²+2t-1=（t+1）²-2∈[-2，2]，
t∈[$\frac{1}{2}$，2]，t²-|2t-1|=t²-2t+1=（t-1）²∈[0，1]，
所以k＜-2；
（3）因为f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$=1+$\frac{2a}{{2}^{x}-a}$，
①当a＞0时，函数f（x）在（log₂a，+∞）和（-∞，log₂a）上单调递减，
由题意可得1+$\frac{2a}{{2}^{m}-a}$=2ⁿ，1+$\frac{2a}{{2}^{n}-a}$=2^m，（*）
上述两式相减得$\frac{2a}{{2}^{m}-a}$-$\frac{2a}{{2}^{n}-a}$=2ⁿ-2^m，
即2a=（2^m-a）（2ⁿ-a），故得$\frac{2a}{{2}^{m}-a}$=2ⁿ-a，
代入（*）式得a=1，此时（2^m-1）（2ⁿ-1）=2，且m＜n＜0或0＜m＜n，
此时（2^m-1）（2ⁿ-1）=2显然有解，故此时a=1．                        
②当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增．
由题意可得m，n是方程1+$\frac{2a}{{2}^{x}-a}$=2^x的两个不等的实根，
令t=2^x＞0，则方程t²-（a+1）t-a=0有两个不相等的正实根，
故$\left\{\begin{array}{l}{△=（a+1）^{2}+4a＞0}\\{a+1＞0}\\{-a＞0}\end{array}\right.$，解得-3+2$\sqrt{2}$＜a＜0，
综上得实数a的取值范围是{1}∪（-3+2$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查的知识点是函数的单调区间，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．