Question

12．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{7}{4}$，数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n+1-b_n=2，n∈N^*，且b₁=1．
（1）求b₂，b₃，b₄的值和数列{a_n}的通项公式；
（2）试探究b_n与b_n+6的关系，并求$\sum_{i=1}^{6n}$a_ib_i（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n+1-b_n=2，n∈N^*，且b₁=1．分别取n=1，2，3，可得b₂，b₃，b₄．设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0．由a₃=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{7}{4}$，可得${a}_{1}{q}^{2}$=$\frac{1}{4}$，${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=$\frac{7}{4}$，解出即可．
（2）由（1）可得：b₅=-2，b₆=-1，b₇=1，b₈=2，…，可得b_n+6=b_n．计算$\sum_{i=1}^{6}{a}_{i}{b}_{i}$=$\frac{63}{32}$．可得$\sum_{i=1}^{6n}$a_ib_i=$\frac{63}{32}[1+（\frac{1}{2}）^{6}+（\frac{1}{2}）^{12}+$…+$（\frac{1}{2}）^{6n-6}]$．

解答 解：（1）∵数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n+1-b_n=2，n∈N^*，且b₁=1．
分别取n=1，2，3，可得b₂=2，b₃=1，b₄=-1．
设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0．
∵a₃=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{7}{4}$，
∴${a}_{1}{q}^{2}$=$\frac{1}{4}$，${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$=$\frac{7}{4}$，
解得a₁=1，q=$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）由（1）可得：b₅=-2，b₆=-1，b₇=1，b₈=2，…，
可得b_n+6=b_n．
∵$\sum_{i=1}^{6}{a}_{i}{b}_{i}$=$1×（\frac{1}{2}）^{0}$+$2×（\frac{1}{2}）^{1}$+$1×（\frac{1}{2}）^{2}$-$（\frac{1}{2}）^{3}$-2×$（\frac{1}{2}）^{4}$-$（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{63}{32}$．
∴$\sum_{i=1}^{6n}$a_ib_i=$\frac{63}{32}[1+（\frac{1}{2}）^{6}+（\frac{1}{2}）^{12}+$…+$（\frac{1}{2}）^{6n-6}]$
=$\frac{63}{32}$×$\frac{1-（\frac{1}{64}）^{n}}{1-\frac{1}{64}}$=$2[1-（\frac{1}{64}）^{n}]$．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、数列的周期性，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．