Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=$\sqrt{3}$，PD=4．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）在线段PA上是否存在点M，使得DM∥平面PBC．若存在，求三棱锥P-BDM的体积；若不存在，请说明理由．（锥体体积公式：V=$\frac{1}{3}$Sh，其中S为底面面积，h为高）

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证明平面PAD⊥平面PCD，只需推知CD⊥平面PAD即可；
（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．通过证明“MN∩DN=N，MN∥平面PBC，ND∥平面PBC”推知DM∥平面PBC．然后将三棱锥P-BDM的体积转化为求三棱锥B-DMP的体积来计算．

解答 （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥DC．
∵△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=$\sqrt{3}$，
∴在△BCD中，由余弦定理得到：cos∠BDC=$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD•CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BDC=30°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°，
∴DC⊥AD，
又∵AD∩PD=D，
∴CD⊥平面PAD．
又∵CD?平面CDP，
∴平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．理由如下：
取AB的中点N，连接MN，DN．
∵M是AP的中点，
∴MN∥PB．
∵△ABC是等边三角形，
∴DN⊥AB，
由（1）知，∠CBD=∠BDC=30°，
∴∠ABC=60°+30°=90°，即BC⊥AB．
∴ND∥BC．
又MN∩DN=N，
∴平面MND∥平面PBC．
∴DM∥平面PBC．
过点B作BQ⊥AD于Q，
∵由已知知，PD⊥BQ，
∴BQ⊥平面PAD，
∴BQ是三棱锥B-DMP的高，
∵BQ=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，S_△DMP=$\frac{1}{4}$AD•PD=3，
∴V_P-BDM=V_B-DMP=$\frac{1}{3}$BQ•S_△DMP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了直线与平面垂直、平行的判，．解答（Ⅱ）中三棱锥P-BDM的体积时，也可以这样解答：V_P-BDM=$\frac{1}{2}$V_P-ABD=$\frac{1}{6}$PD•S_△ABD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．