Question

14．如图，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=1，BC=2，CD=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，点E在BD上，且BE=3ED．
（Ⅰ）求证：AE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）在平面BCD中，作EH⊥BC于H．平面BCD中，可得EH∥CD，结合DC⊥面ABC得EH⊥面ABC．连AH，取BC中点M，可证出△ACM是正三角形，且H是MC中点，得AH⊥BC，所以BC⊥面AHE，从而得到BC⊥AE；
（II）作BO⊥AE于O，连CO．结合（I）的结论证出AE⊥平面BCO，所以∠BOC就是B-AE-C的平面角．利用勾股定理，计算出△BOC的各边长，最后用余弦定理，得出二面角B-AE-C的余弦值．

解答 （I）证明：在平面BCD中，作EH⊥BC于H，
∵平面BCD中，CD⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥CD，得$\frac{ED}{BD}$=$\frac{CH}{BC}$=$\frac{1}{4}$
∵DC⊥面ABC，∴EH⊥面ABC
连AH，取BC中点M，
∵Rt△ABC中，AC=1，BC=2，∴cos∠ACB=$\frac{1}{2}$，得∠ACB=60°
∵AM=CM=$\frac{1}{2}$BC，∴△ACM是正三角形，
∵CH=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$MC，∴H是MC中点，得AH⊥BC
∵EH⊥BC，AH∩EH=H，∴BC⊥面AHE
∵AE⊆平面AHE，∴BC⊥AE…（6分）
（II）作BO⊥AE于O，连CO
∵BC⊥AE，BO、BC是平面BOC内的相交直线，∴AE⊥平面BCO，
结合OC⊆平面BCO，得AE⊥OC，所以∠BOC就是B-AE-C的平面角…（10分）
AC=1，BC=2，AB=$\sqrt{3}$，CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Rt△EHC中，EH=$\frac{3}{4}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$，
∴CE=$\sqrt{{EH}^{2}+{CH}^{2}}$=1
∵Rt△AEH中，AH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AE=$\sqrt{{EH}^{2}+{AH}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
在△AEC中，CE=AE=1，CO⊥AE，得CO=$\sqrt{{AE}^{2}+（\frac{1}{2}AC）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
在△ABO中，BO=$\sqrt{{AB}^{2}-{AO}^{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{4}$
∴△BOC中，cos∠BOC=$\frac{{BO}^{2}+{CO}^{2}-{BC}^{2}}{2BO•CO}$=-$\frac{6}{\sqrt{420}}$=-$\frac{\sqrt{105}}{35}$
所以二面角B-AE-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{105}}{35}$…（14分）．

点评 本题在三棱锥中，证明线面垂直并求二面角的平面角余弦之值，着重考查了空间中直线与直线之间的位置关系和二面角的平面角的作法和求解等知识，属于中档题．