Question

12．已知x，y都是正实数，比较$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$与（x³+y³）${\;}^{\frac{1}{3}}$的大小．

Answer 1

分析 由于A=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 与B=（x³+y³）${\;}^{\frac{1}{3}}$都是正实数，故要比较A、B的大小，只要比较A⁶与 B⁶的大小即可．计算 A⁶-B⁶，利用放缩法可得 A⁶-B⁶＞0，从而得出结论．

解答 解：由于A=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 与B=（x³+y³）${\;}^{\frac{1}{3}}$都是正实数，故只要比较A⁶与 B⁶的大小即可．
∵A⁶-B⁶=（x²+y²）³-（x³+y³）²=（x⁶+y⁶+3x⁴•y²+3x²•y⁴）-（x⁶+y⁶+2x³•y³）
=x²•y² （3x²+3y²-2xy）＞x²•y² （x²+y²-2xy）=x²•y²•（x-y）²≥0，
∴A⁶-B⁶＞0，
∴A＞B，即 $\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞（x³+y³）${\;}^{\frac{1}{3}}$．

点评 本题主要考查比较两个式子的大小的方法，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于基础题．