Question

14．若函数f（x）在给定区间M上，存在正数t，使得对于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t级类增函数，则下列命题正确的是（　　）

• A． 函数f（x）=$\frac{4}{x}$+x是（1，+∞）上的1级类增函数
• B． 函数f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1级类增函数
• C． 若函数f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[1，+∞）
• D． 若函数f（x）=sinx+ax为[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$级类增函数，则实数a的取值范围为[2，+∞）

Answer 1

分析 A中，f（x+1）-f（x）=$\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x}+1$≥0在（1，+∞）上不成立；
B中，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立；
C．故运用参数分离，求出最大值，只要a不小于最大值即可；
D．由f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，能导出实数t的取值范围为[1，+∞）．

解答 解：A．∵f（x）=$\frac{4}{x}$+x，
∴f（x+1）-f（x）=$\frac{4}{x+1}+x+1$-$\frac{4}{x}$-x=$\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x}+1$≥0在（1，+∞）上不成立，故A不正确；
B．∵f（x）=|log₂（x-1）|，
∴f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不成立，故B不正确；
C∵f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，t≥3-2x，
由于x∈[1，+∞），则3-2x≤1，
故实数t的取值范围为[1，+∞），∴C正确．
D．f（x）=sinx+ax为[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$级类增函数，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）+a（x+$\frac{π}{3}$）≥sinx+ax，
sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$+ax+$\frac{π}{3}$a≥sinx+ax，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{π}{3}$a≥$\frac{1}{2}$sinx，
当x=$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{3}$a≥$\frac{1}{2}$，a≥$\frac{3}{2π}$，∴则实数a的最小值为$\frac{3}{2π}$，∴D不正确；
故选：C

点评 本题考查命题的真假判断，考查新定义，同时考查函数的性质及应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，