Question

4．设a、b、c均为正数，且a+b+c≤3，求证：$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由基本不等式可得$\frac{1+a}{4}$+$\frac{1}{1+a}$≥1，$\frac{1+b}{4}$+$\frac{1}{1+b}$≥1，$\frac{1+c}{4}$+$\frac{1}{1+c}$≥1，运用累加法和不等式的性质，即可得到要证的不等式．

解答 证明：由a、b、c均为正数，且a+b+c≤3，
则$\frac{1+a}{4}$+$\frac{1}{1+a}$≥2$\sqrt{\frac{1+a}{4}•\frac{1}{1+a}}$=1，
同理可得$\frac{1+b}{4}$+$\frac{1}{1+b}$≥1，
$\frac{1+c}{4}$+$\frac{1}{1+c}$≥1，
相加可得，$\frac{1+a}{4}$+$\frac{1+b}{4}$+$\frac{1+c}{4}$+$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$≥3，
即有$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$≥3-$\frac{3}{4}$-$\frac{a+b+c}{4}$≥$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$．
当且仅当a=b=c=1，上式取得等号．
则有原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用，运用累加法和不等式的性质是解题的关键．