Question

12．设x，y，z是不全为0的实数，则$\frac{xy+yz+xz}{3{x}^{2}+3{y}^{2}+3{z}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由基本不等式可得x²+y²≥2xy，x²+z²≥2xz，y²+z²≥2yz，三式相加变形可得．

解答 解：由基本不等式可得x²+y²≥2xy，x²+z²≥2xz，y²+z²≥2yz，
三式相加可得2（x²+y²+z²）≥2（xy+xz+yz），
∴$\frac{xy+yz+xz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$≤1，当且仅当x=y=z时取等号，
∴$\frac{xy+yz+xz}{3{x}^{2}+3{y}^{2}+3{z}^{2}}$≤$\frac{1}{3}$
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 本题考查基本不等式，属基础题．