Question

20．在阁楼上有一个直径为4m的半圆形窗洞，设计师要设计一个矩形窗户，要求其两个顶点落在圆的直径，另两个顶点落在圆的轨迹上．
（1）根据所给条件，建立合理体系，并写出圆的标准方程．
（2）求矩形面积S与一边的长a的函数关系式．
（3）当一边的长a为多少时，面积S最大值？求其最大值．

Answer 1

分析 （1）首先以直径的中点为原点，直径所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知的直径为4，半径便为2，所以可以写出圆的标准方程；
（2）可以画出图形，设矩形的一边|AB|=a，连接OA，可以表示出矩形的另一边长为$2\sqrt{4-{a}^{2}}$，从而表示出矩形的面积S=$2a•\sqrt{4-{a}^{2}}$；
（3）根据基本不等式便可得到$2a•\sqrt{4-{a}^{2}}≤4$，并且可求出S取最大值时a的长．

解答 解：（1）如图，以半圆的直径中点为原点，直径所在直线为x轴建立平面直角坐标系；

圆的圆心在原点，半径为2；
∴圆的方程为x²+y²=4，（y≥0）；
（2）设原点为O，矩形的一条边|AB|=a，连接OA，则：
$|OB|=\sqrt{4-{a}^{2}}$；
∴矩形的面积S=$2a•\sqrt{4{-a}^{2}}$，（0＜a＜2）；
（3）$2a•\sqrt{4-{a}^{2}}≤{a}^{2}+4-{a}^{2}=4$；
当且仅当a=$\sqrt{4-{a}^{2}}$，即a=$\sqrt{2}$时取“=”；
∴当a=$\sqrt{2}$时，面积S取最大值4．

点评 考查圆的标准方程，知道圆心在原点时圆的方程为标准方程，以及基本不等式：a²+b²≥2ab，的运用，并且知道等号成立的条件．