Question

10．已知△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且a：b：c=7：5：3．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为45$\sqrt{3}$，求△ABC的外接圆半径的大小．

Answer 1

分析 （1）根据题意设出三边，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的三边代入求出cosA的值即可；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把表示出的b，c及sinA，已知面积代入求出k的值，确定出a的值，利用正弦定理求出△ABC的外接圆半径即可．

解答 解：（1）根据题意设a=7k，b=5k，c=3k，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{25{k}^{2}+9{k}^{2}-49{k}^{2}}{30{k}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
则A=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=45$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•15k²•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=45$\sqrt{3}$，即k=2$\sqrt{3}$，
∴a=7k=14$\sqrt{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=2R，得：R=$\frac{a}{2sinA}$=$\frac{14\sqrt{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=14．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．