Question

5．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，首项a₁=3¹²，公比q≠1．S₂，2S₃，3S₄成等差数列；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|log₃a_n|，问从第几项开始数列{b_n}中的连续20项之和等于102．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和等差数列的性质建立方程关系求出公比即可求{a_n}的通项公式．
（2）求出b_n=|13-n|，记数列{b_n}从第k项开始的连续20项和为T_k=b_k+b_k+1+…+b_k+19，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵首项a₁=3¹²，公比q≠1．S₂，2S₃，3S₄成等差数列；
∴S₂+3S₄=2S₃，
即$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$$+\frac{3{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
整理得q²（3q²-4q+1）=0，
解得q=$\frac{1}{3}$，
故a_n=3¹²•（$\frac{1}{3}$）^n-1=3^13-n，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=3^13-n；
（2）b_n=|log₃a_n|=|log₃3^13-n|=|13-n|，
记数列{b_n}从第k项开始的连续20项和
为T_k=b_k+b_k+1+…+b_k+19，
若k≥13，则T_k≥0+1+2+…+19=190＞102，
∴k＜13，
∴T_k=b_k+b_k+1+…+b₁₂+b₁₃+b₁₄+…+b_k+19，
∴T_k=（13-k）+（12-k）+…+1+0+1+…+（k+6）
$\frac{1}{2}[（13-k）+1]（13-k）$$+\frac{1}{2}[1+（k+6）]（k+6）$=k²-7k+112，
∴由k²-7k+112=102，解得k=2或k=5．
∴从第2项或第5项开始数列{b_n}中的连续20项之和等于102．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及其应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．利用等比数列和等差数列的性质求出通项公式是解决本题的关键．