Question

15．下列不等式中：
①tanα+$\frac{1}{tanα}$≥2（α＞0）；
②sinA+$\frac{1}{sinA}$≥2（∠A是三角形的内角）；
③2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2（x∈R）；
④$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{c-a}$＞0（a＞b＞c）．
在其条件下恒成立的是②③④（将成立的式子的序号都填上）．

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的注意事项，逐个选项验证可得．

解答 解：①∵α＞0时，tanα可以为负值，
故不能推出tanα+$\frac{1}{tanα}$≥2，故错误；
②∵∠A是三角形的内角，∴0＜sinA≤1
由基本不等式可得sinA+$\frac{1}{sinA}$≥2
当且仅当sinA=$\frac{1}{sinA}$即sinA=1即A=90°时取等号，故正确；
③∵2^x＞0，∴由基本不等式可得2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，
当且仅当2^x=$\frac{1}{{2}^{x}}$即2^x=1即x=0时取等号，故正确；
④∵a＞b＞c，∴0＜a-b＜a-c，
∴$\frac{1}{a-b}$＞$\frac{1}{a-c}$，
∴$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{c-a}$＞0，故正确．
故答案为：②③④

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．