Question

7．在边长为1的正△ABC中，设$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{CE}$，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BE}$．

Answer 1

分析 根据向量加法满足三角形法则，将$\overrightarrow{BE}$用$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{AC}$表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}$的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{CE}$，∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，
又∵△ABC为正三角形，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$）
=$-\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$-|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cos\frac{π}{3}-\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{3}$
=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$
=$-\frac{2}{3}$•

点评 本题考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合的思想，属于中档题．