Question

17．在极坐标系中，已知曲线C：ρ²+2ρsinθ+$\frac{3}{4}$=0（ρ∈R），l为过定点（2，-1）且与直线θ=$\frac{π}{4}$平行的直线，A、B分别为曲线C和直线l上的动点．
（1）将曲线C和直线l分别化为直角坐标系下的方程；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把曲线C的方程化为直角坐标方程，利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出直线l的方程；
（2）求出圆心到直线l的距离d，可得|AB|的最小值为d-r．

解答 解：（1）曲线C：ρ²+2ρsinθ+$\frac{3}{4}$=0（ρ∈R），
∴${x}^{2}+{y}^{2}+2y+\frac{3}{4}$=0，化为${x}^{2}+（y+1）^{2}=\frac{1}{4}$；
l为过定点（2，-1）且与直线θ=$\frac{π}{4}$平行的直线，
∴直线l的方程为：y+1=$tan\frac{π}{4}（x-2）$，化为x-y-3=0．
（2）圆心C（0，-1）到直线l的距离d=$\frac{|0+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|AB|的最小值=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．