Question

3．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，AA₁=AC=CB=2，D是AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求证：A₁C⊥AB₁；
（3）若点E在线段BB₁上，且二面角E-CD-B的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求此时三棱锥C-A₁DE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁交A₁C于点F，由三角形中位线定理得BC₁∥DF，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）利用线面垂直的判定定理证明A₁C⊥平面AB₁C₁，即可证明A₁C⊥AB₁；
（3）证明∠BDE为二面角E-CD-B的平面角，点E为BB₁的中点，确定DE⊥A₁D，再求三棱锥C-A₁DE的体积．

解答 （1）证明：连结AC₁，交A₁C于点F，则F为AC₁中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC₁∥DF，
因为DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．…（3分）
（2）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
因为AA₁=AC，所以AC₁⊥A₁C…（4分）
因为CA⊥CB，B₁C₁∥BC，
所以B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，所以B₁C₁⊥A₁C…（6分）
因为B₁C₁∩AC₁=C₁，所以A₁C⊥平面AB₁C₁
所以A₁C⊥AB₁…（8分）
（3）解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥CD，
因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB₁A₁．
所以CD⊥DE，CD⊥DB，
所以∠BDE为二面角E-CD-B的平面角．
在Rt△DEB中，$tan∠BDE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
由AA₁=AC=CB=2，CA⊥CB，
所以$AB=2\sqrt{2}$，$DB=\sqrt{2}$．
所以$\frac{BE}{DB}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得BE=1．所以点E为BB₁的中点．…（11分）
又因为$CD=\sqrt{2}$，${A_1}D=\sqrt{6}$，$DE=\sqrt{3}$，A₁E=3，
故${A_1}{D^2}+D{E^2}={A_1}{E^2}$，故有DE⊥A₁D
所以${V_{C-{A_1}DE}}=\frac{1}{3}×{S_{△{A_1}DE}}×DC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{3}×\sqrt{2}=1$…（14分）

点评 本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C-A₁DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．