Question

13．解下列线性规划问题
（1）设z=3x+4y，式中的变量x，y满足：$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3\\}\\{y≤2x}\\{x，y≥0}\end{array}\right.$，求z的最大值z_max
（2）设z=x+y，式中的变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥2\\}\\{5x+2y≥6}\\{x，y≥0}\end{array}\right.$，求z的最小值z_min．

Answer 1

分析 作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：（1）作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≤3&\\ y≤2x\\ x，y≥0\end{array}\right.$对于的平面区域如图：
由z=3x+4y，则y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，平移直线y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，由图象可知当直线y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，
经过点A时，直线y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=3&\\ y=2x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$，即A（1，2），
此时z_max=3×1+4×2=11，
故答案为：11．
（2）作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+2y≥2&\\ 5x+2y≥6\\ x，y≥0\end{array}\right.$对于的平面区域如图：
由z=x+y，则y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z
经过点A时，直线y=-x+z的截距最小，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y=2&\\ x=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.$，即A（0，1），
此时z_min=0+1=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键