Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为为AB和PD中点．
（1）求证：直线AF∥平面PEC；
（2）求三棱锥P-BEF的表面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质证明线线平行，从而得到线面平行；
（2）由线面垂直的判断和性质得到三棱锥四个侧面三角形的高，求出各侧面的面积求和得答案．

解答 （1）证明：如图，

分别取PC，DC的中点G，H，连接FG，GH，EH，
则FG∥DH，FG=DH，DH∥AE，DH=AE，
∴FG∥AE，FG=AE，则四边形AEGF为平行四边形，则AF∥EG，
EG?平面PEC，AF?平面PEC，∴直线AF∥平面PEC；
（2）解：三棱锥P-BEF的表面积等于S_△BEF+S_△PBE+S_△PFE+S_△PBF．
∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形，
又AD=1，∴BD=1，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又PD⊥平面ABCD，DE⊥AB，∴PE⊥AB，EF⊥AB，
∵PD=1，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DF=$\frac{1}{2}$，
∴$EF=\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=1$，$PE=\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴${S}_{△BEF}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$，${S}_{△BEP}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{8}$，
${S}_{△PFE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，${S}_{△PFB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$，
∴三棱锥P-BEF的表面积等于$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{8}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．