Question

3．已知函数f（x）=sinxcosx+sinx+$\frac{2}{5}$cosx（0≤x≤$\frac{π}{2}$），则函数f（x）的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{38}{25}$
• D． $\frac{43}{25}$

Answer 1

分析 三角换元令t=tan$\frac{x}{2}$∈[0，1]，由万能公式可得f（x）=f（t）=$\frac{20t-2{t}^{4}+2}{5（1+{t}^{2}）^{2}}$，由导数法判函数的单调性可得最值．

解答 解：∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴t=tan$\frac{x}{2}$∈[0，1]，
由万能公式可得f（x）=f（t）=$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$•$\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$+$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$+$\frac{2}{5}$•$\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$
=$\frac{2t（1-{t}^{2}）}{（1+{t}^{2}）^{2}}$+$\frac{10t+2（1-{t}^{2}）}{5（1+{t}^{2}）}$=$\frac{10t（1-{t}^{2}）+10t（1+{t}^{2}）+2（1-{t}^{4}）}{5（1+{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{20t-2{t}^{4}+2}{5（1+{t}^{2}）^{2}}$，
求导数可得f′（t）=$\frac{20-60{t}^{2}-8{t}^{3}-8t}{5（1+{t}^{2}）^{3}}$，令f′（t）=0可得20-60t²-8t³-8t=0，
分解因式可得（t-$\frac{1}{2}$）（t²+8t+5）=0，∵t∈[0，1]，∴t=$\frac{1}{2}$，
当0＜t＜$\frac{1}{2}$时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增，当$\frac{1}{2}$＜t＜1时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减，
∴f（x）的最大值即f（t）的最大值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{38}{25}$，
故选：C

点评 本题考查导数法求函数的最值，三角换元是解决问题的关键，属中档题．